Mehrdimensionale Schwingungen
- Zweidimensionale Schwingerkette:
- 2 Massen, mit Federn gekoppelt
- Bewegungsgleichung
- vgl. Applet Coupled Oscillators
- Bewegungsgleichung nach höchsten Ableitungen
auflösen
- in Grundform bringen
- rechte Seiten als Matlab-Funktion schwing2d.m
- Anfangsbedingung: Massen in Ruhe, nur 1.
ausgelenkt
- Lösen
- [t, y] =
ode45(@schwing2d, [0 30], [1 0 0 0]);
- Plot der Bewegungen
- 1./2. Spalte = x1/x2
- 3./4. Spalte = v1/v2
- plot(t, y(:,1), t,
y(:,2))
legend("x_1(t)", "x_2(t)", "Location", "best");
- Matrixform der Schwingungsgleichung:
- Bewegungsgleichung umschreiben
- Vektoren und Matrizen einführen
- Bewegungsgleichung lautet dann
- M heißt Massenmatrix, C
Steifigkeitsmatrix
- für die Grundform y in
Zweiervektoren zerlegen
- rechte Seiten mit Parametern M, C, als
Matlab-Funktion matschwing2d.m
- Matrizen M,
C und Hilfsfunktion definieren
-
M = [m1, 0; 0, m2];
C = [c1+c2, -c2; -c2, c2+c3];
fhilf = @(t,y) matschwing2d(t, y, M, C);
- Anfangsbedingung: Massen in Ruhe, 1. und 2.
gegeneinander ausgelenkt
- Lösen
- [t, y] =
ode45(fhilf, [0 30], [1 -1 0 0]);
- N-dimensionale Schwingungen:
- mehrere Massen und/oder Bewegung in mehr als einer
Dimension
- Schwingungsgleichung in Matrixform bleibt
gültig
- Beispiel "Schwingendes Hochhaus"
- Matrizen
- Matlab-Funktion schwingNd.m zerlegt Vektor y in zwei Teile
- Lösen mit Anfangsgeschwindigkeit für v3
mit Matlabskript bild26.m
- Bewegung in zwei Dimensionen:
- Beispiel
- Verschiebungen di der Massen: 2 Vektoren mit jeweils 2
Komponenten
- Bewegungsgleichungen
- Reihenfolge der Koordinaten festlegen
- dann kann man die Matrizen ablesen
- Lösen und plotten mit Matlabskript bild28.m
- x- und y-Koordinaten
- Bahnkurven
- Bewegung schwer nachzuvollziehen, besser mit
Animation
- Schwingungen eines Fachwerks:
- Aufstellen der Bewegungsgleichungen
- mühsam (vgl. fachwerk.pdf)
- Ergebnis
- für die Abweichungen von der
Gleichgewichtslage
- mit den Richtungsvektoren
- Ermitteln der Steifigkeitsmatrix
- erledigt Routine createMatrices
- Reihenfolge der Koordinaten x1,
y1, x2, y2, ..
- bequemes Lösen der DGL mit solveVibrationODE
- Anfangsauslenkungen d0 als N 2d-Spaltenvektoren
in einer Matrix
- Anfangsgeschwindigkeiten v0 ebenso
- Ergebnisse d, v als (NT x 2 x N)-Tensor
- Umsortieren mit reshape(A, N,
M)
- ordnet erst alle Spalten von A untereinander zu
langem Vektor
- teilt dann neu auf in NxM-Matrix
- Funktionen mit optionalen Parametern
- hintere Argumente können weggelassen werden
- Variable nargin enthält
Zahl der übergebenen Parameter
- Funktion prüft nargin
und definiert ggf. Standardwerte
- Aufgaben: