Lösung der Bewegungsgleichungen am Beispiel
- Standardbeispiel:
- Masse-Feder-System mit kleiner Kopplungsfeder
- Bewegungsgleichungen in Standardform mit Abkürzung ω02
= c/m
- Bestimmung der Eigenfrequenzen:
- Lösungsansatz
- mit unbekannten Werten für ω, 1,
2
- Einsetzen liefert
- homogenes Gleichungssystem für 1,
2
- nichttriviale Lösung ⇔
Determinante verschwindet
- Ausrechnen der Determinante liefert quadratische Gleichung
für ω2
(charakteristische Gleichung)
- Auflösen nach ω2
ergibt zwei (positive) Lösungen (Eigenfrequenzen)
- Berechnung der Eigenschwingungen:
- 1. Eigenschwingung für ω
= ω1
- ω1
in homogenes Gleichungssystem einsetzen →
- nur eine Gleichung bleibt übrig
- Lösung nicht eindeutig, eine Wahlmöglichkeit, normalerweise
- Lösung daher
- allgemeinere Lösung durch beliebige Linearkombination
von Real- und Imaginärteil
- 2. Eigenschwingung für ω
= ω2 analog
→
- Interpretation der Eigenschwingungen
- 1. Eigenschwingung
- beide Massen schwingen im Takt mit gleicher Amplitude
- mittlere (Kopplungs-)Feder entspannt
- Frequenz = Eigenfrequenz ohne Kopplung
- 2. Eigenschwingung
- Massen schwingen mit gleicher Amplitude gegeneinander
- Kraft durch Kopplungsfeder →
höhere Eigenfrequenz